求曲线积分∫C xy^2Dy%x^2yDx ,其中C是x^2+y^2=4的...

方法一:格林公式对圆周补线段AB:y=0,x:-2--->2,这样c+AB就是封闭曲线了∮(c+AB) xydy-xydx=∫∫(y+x)dxdy 积分区域为:x+y=2,上半圆用极坐标=∫[0--->π]dθ

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∮xy^2dy-x^2ydx=∫∫x^2+y^2dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr=2π(1/4)r^4(0,a)=(1/2)πa^4注意:∫∫x^2+y^2dxdy是二重积分,在D上x^2+y^2≤a^2

P=-x^2y Q=xy^2P/y=-x^2 Q/x=y^2根据格林公式:∫(L)fxy^2dy-x^2ydx=∫∫(D)[y^2-(-x^2)]dxdy=∫(0,2π)dθ∫(0,a)r^3dr=πa^4/2

因为P=-x^2 y,Q=xy^2.所以Py=-x^2,Qx=y^2.利用格林公式:∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy, 其中c是的取正向的边界曲线. 故原式=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy=∫∫D(y^2-(-x^2))dxdy=∫∫D(y^2+x^2)dxdy=∫∫D a^2dxdy=a^2*∫∫D dxdy=a^2*D的面积=2*pai*a^4

满足格林公式如果PQ相等是与积分路径无关只要L闭封,P.Q在D中有一阶连续偏导数,且D的边界取正方向就可以用格林公式

解:令Q=-x^2y,P=xy^2 则αQ/αx=-2xy,αP/αy=2xy 于是,由格林定理,得 曲线积分I=∫∫(αQ/αx-αP/αy)dxdy =(-4)∫∫xydxdy =(-4)∫xdx∫ydy =(-2)∫x[(1+√(1-x^2))^2-(1-√(1-x^2))^2]dx ∵x[(1+√(1-x^2))^2-(1-√(1-x^2))^2]是奇函数 积分区间是的对称区间 ∴∫x[(1+√(1-x^2))^2-(1-√(1-x^2))^2]dx=0 故曲线积分I=(-2)*0=0.

【L】∮(xydy-xydx)/(x+y) 其中L是圆周x+y=a的顺时针方向 解:P=-xy/(x+y);P/y=[-x(x+y)+2xy]/(x+y)=x(y-x)/(x+y);Q=xy/(x+y);Q/x=[y(x+y)-2xy]/(x+y)=y(y-x)/(x

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