线性代数中关于矩阵秩的问题,R(A,B)与R(AB)的区别,请举例说明!

一、计算方法不同1、R(AB):若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r.在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶

1楼说法是错误的,矩阵秩和是不是方阵无关,如果谈及行列式,才必须是方阵,r(A,B)是A,B的增广矩阵,必须具有相同的维数 常用在解线性方程组中,例如 A=1 2 34 5 6 B=1 4 7 43 5 8 10 (A,B)=1 2 3 1 4 7 44 5 6 3 5 8 10 R(A,B)就是求上面矩阵的秩 与R(AB)有本质的区别 AB就是两个向量相称,要求前一个向量的列数=后一个向量的维数 即 设A为m行*3列形式 那B必须是3行*n列的形式 然后计算他们的乘积后,求秩

一、表达概念不同1、R(AB):AB表示A乘以B.2、R(A,B):A,B表示A和B并在一起.二、计算方法不同1、R(AB):若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r.在m*n矩阵A中,任意决定k行和

乘积的秩小于等于两个矩阵中较小的秩

r(A,B)>=r(A+B)r(A,B)>=r(B)>=r(AB)r(AB)与r(A+B)没有直接关系.第一个不等式,将矩阵写成列向量形式[a1,a2,,an,b1,b2,bn]和[a1+b1,a2+b2,,an+bn]明显看到后面矩阵n

r(AB)与r(A),r(B)的关系小!设A为m*n矩阵;B为n*k矩阵;r(A)=a,r(B)=b;0≤r(AB)≤min(a,b);这与他们是不是N阶矩阵无关!

有两个定理,一个是r(AB)≤min{r(A),r(B)},另一个是r(A+B)≤r(A,B)(这是前一个定理的推论,见图).所以r(AB)≤r(A)≤r(A,B),但r(AB)与r(A+B)没有一定的大小关系.

r(A,B)>=r(A+B) 证明如下:将两个矩阵写成列向量的形式[a1,a2,,an,b1,b2,bn]和[a1+b1,a2+b2,,an+bn] 明显看到后面矩阵n个向量中的每个向量都是前面矩阵2n个向量的线性组合,就是后边矩阵的列向量组可以被前边矩阵的列向量组线性表出.由线性表出关系可知,前边向量组的基大于后边向量组的基.向量组的基就是矩阵的列向量构成的基,也就是矩阵的列秩等于矩阵的秩.得证.更广泛的有:r(A)+r(B)>=r(A,B)>=r(A+B)

你想当然的以为一个n*n阶矩阵的秩最大可能取到n,但C=AB这个C不是任意的,如果A是n维列向量,B是n维行向量,得到n阶方阵C任意两行均成比例,它的秩是不可能大于1的.

a,b不一定是方阵, 只要满足 a,b 相乘有意义都有 r(ab) 当a可逆时, a自然要求是方阵, 此时有 r(ab)=r(b).一般有 当p,q可逆时, r(a) = r(pa) = r(aq) = r(paq), 要求乘法有意义.

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